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By Patrik Hubschmid

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Bn ). (ii) Die von b1 , . . , bn erzeugte Unteralgebra A[b1 , . . , bn ] ist die kleinste Unteralgebra von B, die b1 , . . , bn enth¨alt. (iii) Ist A = Z, so ist Z[b1 , . . , bn ] der kleinste Unterring von B, der b1 , . . , bn enth¨alt. Er wird auch als der von b1 , . . , bn erzeugte Unterring von B bezeichnet. 52. Der von i erzeugte Unterring Z[i] von C heißt der Ring der Gaußschen ganzen Zahlen. Es gilt Z[i] = {a + bi : a, b ∈ Z}. 53. Sei B eine A-Algebra. (i) B heißt endlich erzeugt (oder von endlichem Typ), falls ein n ≥ 1 und b1 , .

8 Endlich erzeugte und ganze Algebren mit f (y1 , . . , ym ) = 0 gibt. F¨ ur k = 1, . . , m − 1 setzen wir nun m−k d zk := yk − ym ∈ B. Die Unteralgebra B := K[z1 , . . , zm−1 , ym ] von B ist gleich ganz B, weil yk wegen dk f¨ yk = zk + ym ur alle k = 1, . . , m − 1 in B liegt. Nach Konstruktion gilt ∑ dm−1 i1 d im−1 im 0 = f (y1 , . . im (z1 + ym ) · · · (zm−1 + ym ) ym . ,im

Da R noethersch ist, ist der R-Untermodul 1, X, . . , X n−1 R ∩ I des endlich erzeugten R-Moduls 1, X, . . , X n−1 R ebenfalls endlich erzeugt, es gibt also g1 , . . , gl ∈ I mit 1, X, . . , X n−1 R ∩ I = g1 , . . , gl R. Das zeigt, dass I als R[X]-Modul von f1 , . . , fk , g1 , . . , gl erzeugt ist, das Ideal I ist also endlich erzeugt. 6 Smithsche Normalform f¨ ur Matrizen u ¨ber Hauptidealringen Wir betrachten zun¨achst die Menge Matn×n (R) der n×n-Matrizen u ¨ber einem kommutativen Ring R.

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